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칼럼/고수학전문학원 고지윤 원장

기사승인 2019.05.10  10:35:58

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- 대칭은 완벽한 균형의 표현과 창조위한 관념이다

바람이 머물다 간 들판에 모락모락 피어나는 저녁연기, 색동옷 갈아입은 가을 언덕에 빨갛게 노을이 타고 있어요 , 1984년 MBC창작동요제에서 우승한 누구나 한 번쯤 들어본 동요이다. 모교선배님이기도 하여 어렸을 때 특히나 자랑스러운 마음으로 따라 불렀던 기억이 있다. 해가 지거나 떠오를 때 수평선 넘어 반사된 해의 아름다운 모습이 그려진다. 이 반사된 해는 수평선에 의해 거울대칭 된 것이고, 이 수평선을 대칭축이라고 부른다. 우리 생활주변에 대부분 이 대칭을 이루고 있다. 우리얼굴은 거울대칭을 이루고 있고, 불가사리는 회전대칭을 이루고 있다. 태극무늬는 파란색 부분과 빨간색 부분이 서로 180도 회전한 결과와 같은 점 대칭을 이루고 있다. 대칭을 이루고 있으면 균형이 잡힌 것처럼, 혹은 완전한 것처럼 느껴진다.

그리고, 많은 수학자들이 이 대칭이 갖는 규칙과 패턴에 관심을 가졌고, 대칭의 언어로 표현되는 ‘군론’을 연구하고 있다. 대칭을 완벽한 균형으로 표현하기도 하고, 자연의 언어라고 이야기 하기도 한다. 대칭은 인류가 질서나 아름다움, 그리고 완벽을 이해하고 그와 닮은 새로운 것을 창조해 내기 위해 노력한 관념이다.(H. Weyl, 1938)
색맹인데다가, 냄새도 맡을 수 없고, 거리판단을 할 수 없는 꿀벌이 어떻게물체와 충돌하지 않으면서 꿀을 먹을 수 있을까?  꿀벌은 대칭을 가지고 있는 꽃들을 아주 좋아한다. 선대칭(거울대칭) 패턴을 가지고 있는 완두콩이나 회전대칭(방사대칭)을 가지고 있는 해바라기의 생김새에 대한 규칙을 알고 있기 때문에 맛있는 꿀을 얻을 수 있다. 우리가, 또 생명체가 대칭에 가까워지려는 노력은 위에서 이야기 한 것처럼, 균형을 이루고 완벽해지려는 본능으로 이해할 수 도 있다. 거대한 책장 같은 곳을 비좁은 칸으로 나누고 수 많은 닭을 가두어 생산한 달걀보다 시골집 마당에서 자유롭게 지낸 닭이 낳은 달걀의 생김새가 더 대칭적이라는 이야기는 이상하게 들리지 않는다. 예술작품에서도 대칭성은 어렵지 않게 찾아볼 수 있다.

아람브라궁전, 이슬람건축물이   예술작품에서 볼 수 있는 타일링에서 대칭을 찾아보자. 테셀레이션이라 부르는 타일링 원리와 방법은 시험문제로도 자주 출제되는 소재 중 하나이기도 하다. 정규 타일링(Regular Tiling)은 한 종류의 합동인 정다각형으로 평면을 채우는 방법으로, 가능한 정다각형은 정삼각형, 정사각형, 정육각형 세 종류밖에 없다. 아래 그림과 같이, 정삼각형의 경우 6개가 모여 360도를 이루어 평면을 채우게 되고, 정사각형은 4개가, 정육각형은 3개로 가능하다. 하지만 정오각형의 경우에는 한 내각의 크기가 108도이므로, 3개가 모이면 틈이 생기고, 4개가 모이면 360도를 넘어가게 되어 불가능한 것이다. 한번 직접 정다각형을 이용해 타일링을 해보도록 하자. (nctm의 illumination에 들어가면 유용한 활용 툴을 무료로 이용할 수 있다. https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Tessellation-Creator/)



준정규 타일링(Semiregular tesselation)은 두 가지 이상의 정다각형으로 일정한 규칙(정삼각형 한 내각의 크기가 60도 이므로 6개 이하의 정다각형으로, 한 꼭짓점을 두 개 이상의 평면이 둘러싸야 한다)을 갖고 공간을 채우는 것으로 아르키메데스 테셀레이션이라고 부르기도 한다. 이때, 한 꼭짓점에 3각형, 12각형, 12각형이 모여 있다면 (3,12,12)라고 표시한다.
이때, 다각형을 각각 a,b,c 각형이라 한다면 (3개의 정다각형이 한 점에 모이는 경우 한내각의크기는, 이고, 이들의 합이 360도가 되면 되므로, 방정식을 이용해 해를 정수인해를 구하면 (a,b,c,) = (3,12,12), (4,8,8), (4,6,12) 이고, 각각 4개 5개, 6개의 정다각형 이모이는 경우도 찾아보면 결국 (3,3,3,4,4), (3,3,4,3,4), (3,4,6,4), (3,6,3,6), (3,3,3,3,6), (4,8,8), (4,6,12), (3,12,12) 의총 8개가 존재한다. 이밖에도 두 종류 이상의 정다각형과 각 꼭지점마다 2,3가지의 규칙으로 배열하는 데미레귤러 타일링(Demiregular Tiling)도 있다.


수학을 사랑한 네덜란드의 판화가에셔( M.C. Escher)는 타일링 원리를 이용해 패턴과 공간의 환영을 반복한 작품을 만들었다. 이슬람모자이크에 영감을 받아 단순한 기하학적 무늬에서 수학적 변환을 이용한 신비로운 형태의 테셀레이션 작품세계를 만들었다. (2018년 연세대학교에서 1월부터 4월 까지 진행된 ‘그림의 마술사에셔전’에서- 백주년기념관) 육각형을 이용한 에션의 도마뱀 테셀레이션 도안은 다음사이트에서 다운받거나 구매할 수 도 있다. 직접 색칠하고 잘라서 만들어 본다면 대칭, 그리고 테셀레이션의 원리를 더 잘 이해 할수 있을 것이다. 
대칭의 아름다움에서 시작해 에셔의 작품까지 이야기하면서, 수학이 가까이 있음을, 그리고 호기심을 해결하는 하나 하나의 과정에서 독자들이 수학적 원리와 발견을 경험하는 즐거움과 경이로움을 느낄 수 있으면 좋겠다. 수학적인 상상을 해보자. 
다음호에서는 ‘펜로즈타일링’과 클라드니의 이야기로 조금 더, 그리고 또 다른 대칭’ 에 관한 이야기를 해보자. 
출처: http://www.eqpuzzle.com/src/ board/board_view.php?seq=40&board_id=board_002& board_article_ id=68&board_category_id=0&board_page=1
 

편집국 sisanewsn@sisanewsn.co.kr

<저작권자 © 시사뉴스앤 무단전재 및 재배포금지>
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